கணிதத்தில் முடிவிலி என்றால் என்ன? – What is Infinity in Mathematics?

கணிதம் என்றாலே நம் நினைவுக்கு வருவது எண்கள் தான்.

சரி. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … , 100, 101,  … 1000, …,  9999999, 10000000, 10000001, 10000002, 10000003, ….. 999999999, 1000000000, 1000000001, 1000000002, ….

இப்படி எழுதிக் கொண்டே சென்றால், இதன் முடிவில் வரும் மிகப் பெரிய எண் எது? அதாவது, எண்களில் மிகப் பெரிய எண் எது?

இதற்கு விடையாக மிகப்பெரிய எண் என்று ∞ -யை கூறுவோர் நம்மில் பலர் உண்டு. ∞ என்பது ஒரு எண்ணே கிடையாது. அதாவது, எண்களுக்கு முடிவே கிடையாது. எண்களிலேயே மிகப் பெரிய எண் என்று எதுவும் இல்லை. எண்களின் தொடர் முடிவற்றது என்பதைக் குறிக்கும், குறியீடே ∞. இந்தக் குறியீட்டிற்குப் பெயர், முடிவிலி (Infinity).

முழு எண்கள் (Integer) ஒரு பக்கம் இருக்கட்டும். 1-க்கும் 2-க்கும் இடையில் எத்தனை தசம எண்கள் (Decimal Points or Real Numbers or Fractions) என்று கூற முடியுமா?

நீங்களே சற்று எழுதிப் பாருங்கள். இந்த தொடருக்கும் முடிவில்லை தான்.  அதாவது, 1-க்கும் 2-க்கும் இடையில், கோடி கோடி தசம எண்கள் உள்ளன என்று சொன்னாலும் அது தவறான விடை தான். எண்ணற்ற தசம எண்கள் உள்ளன என்று சொல்வதே சரி.

உதாரணமாக, ஒரு அடி நீளமுள்ள அளவுகோலை எடுத்துக் கொள்வோம். அதில் முதல் சென்டிமீட்டெர் கோட்டிற்கும் இரண்டாவது சென்டிமீட்டெர் கோட்டிற்கும் இடையே 10 துண்டுகள் (Segments) உள்ளன. அதாவது, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, …. 1.9, 2.0.

இந்த ஒவ்வொரு சிறிய துண்டையும் மேலும் பத்து பத்து சிறிய துண்டுகளாக பிரிப்போம். அதாவது, 1.00, 1.01, 1.02, 1.03, 1.04, … 1.09, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, … 1.19, 1.200, ………. 2.00. இப்படி, 1-க்கும், 2-க்கும் இடையே, 10 பிரிவுகள், 100, பிரிவுகள், 1000, பிரிவுகள், 10000, 100000, ………. என்று மிகச் சிறு சிறு, அதாவது மிக நுண்ணிய உட்பிரிவுகளின் (Infinitesimally Small Segments) எண்ணிக்கைக்கு, முடிவே இருக்காது. எண்களின் அல்லது எண்ணிக்கைகளின் இத்தகைய முடிவற்ற தன்மையைக் குறிக்க,  ∞ (Infinity) என்ற முடிவிலிக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.